GEOMETRIA

Docenti: 
SARACCO Alberto
Codice dell'insegnamento: 
10029*4323*2016*2015*9999
Crediti: 
9
Sede: 
PARMA
Anno accademico di offerta: 
2017/2018
Settore scientifico disciplinare: 
GEOMETRIA (MAT/03)
Semestre dell'insegnamento: 
Secondo Semestre
Lingua di insegnamento: 

ITALIANO

Lingua dell'insegnamento: 

ITALIANO

Obiettivi formativi

Il corso ha l’obiettivo di consentire allo studente di conoscere e di comprendere elementi essenziali dell’Algebra Lineare e della Geometria Euclidea del piano e dello spazio; il corso ha anche lo scopo di consentire allo studente di utilizzare la conoscenza e la comprensione acquisita in problemi riguardanti la struttura spaziale dell’ambiente reale, strutture grafiche e architettoniche.

Il corso ha l’obiettivo di consentire allo studente di conoscere e di comprendere elementi essenziali dell’Algebra Lineare e della Geometria Euclidea del piano e dello spazio; il corso ha anche lo scopo di consentire allo studente di utilizzare la conoscenza e la comprensione acquisita in problemi riguardanti la struttura spaziale dell’ambiente reale, strutture grafiche e architettoniche.

Prerequisiti

Contenuti dell'insegnamento

Il corso rappresenta una introduzione a diversi aspetti dell'Algebra Lineare e della Geometria. Inizia con la Geometria Euclidea nello spazio (vettori, rette, piani), mentre la seconda parte del corso è rivolta allo studio di vettori, matrici, sistemi lineari.
Nella terza parte del corso si studiano gli spazi vettoriali, le applicazioni lineari e il problema della diagonalizzazione degli operatori. Il corso termina con la trattazione dei prodotti scalari ed hermitiani.

Il corso rappresenta una introduzione a diversi aspetti dell'Algebra Lineare e della Geometria. Inizia con la Geometria Euclidea nello spazio (vettori, rette, piani), mentre la seconda parte del corso è rivolta allo studio di vettori, matrici, sistemi lineari.
Nella terza parte del corso si studiano gli spazi vettoriali, le applicazioni lineari e il problema della diagonalizzazione degli operatori. Il corso termina con la trattazione dei prodotti scalari ed hermitiani.

Programma esteso

1. Spazi vettoriali reali e complessi. Sottospazi vettoriali: somma, somma diretta.
Combinazioni lineari di vettori: dipendenza e indipendenza lineare. Generatori, basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassman per i sottospazi.
2. Determinanti: espansione di Laplace e proprietà. Teorema di Binet. Operazioni elementari di riga e colonna sulle matrici. Calcolo dell'inversa di una matrice. Rango di una matrice.
3. Sistemi lineari. Metodo di Gauss e teorema di Rouché Capelli.
4. Applicazioni lineari. Definizione di nucleo e di immagine; teorema
della dimensione. Matrice associata ad una
applicazione lineare e regola di cambiamento di base. Isomorfismi e
applicazioni inverse.
5. Endomorfismi di uno spazio vettoriale: autovalori, autovettori e
autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di
un autovalore. Endomorfismi diagonalizzabili.
6. Prodotti scalari. Complemento ortogonale di un sottospazio. Processo di
ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Rappresentazione di isometrie tramite
matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale. Diagonalizzazione di matrici
simmetriche: teorema spettrale. Criterio di positività per prodotti scalari.
Cenni al caso complesso.
7. Elementi di geometria analitica dello spazio. Equazioni parametriche e
cartesiane di una retta. Posizione reciproca di due rette; rette sghembe.
Equazione di un piano. Prodotto scalare canonico e distanza. Prodotto
vettore e sue proprietà fondamentali. Distanza di un punto da un piano e da
una retta.

1. Spazi vettoriali reali e complessi. Sottospazi vettoriali: somma, somma diretta.
Combinazioni lineari di vettori: dipendenza e indipendenza lineare. Generatori, basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassman per i sottospazi.
2. Determinanti: espansione di Laplace e proprietà. Teorema di Binet. Operazioni elementari di riga e colonna sulle matrici. Calcolo dell'inversa di una matrice. Rango di una matrice.
3. Sistemi lineari. Metodo di Gauss e teorema di Rouché Capelli.
4. Applicazioni lineari. Definizione di nucleo e di immagine; teorema
della dimensione. Matrice associata ad una
applicazione lineare e regola di cambiamento di base. Isomorfismi e
applicazioni inverse.
5. Endomorfismi di uno spazio vettoriale: autovalori, autovettori e
autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di
un autovalore. Endomorfismi diagonalizzabili.
6. Prodotti scalari. Complemento ortogonale di un sottospazio. Processo di
ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Rappresentazione di isometrie tramite
matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale. Diagonalizzazione di matrici
simmetriche: teorema spettrale. Criterio di positività per prodotti scalari.
Cenni al caso complesso.
7. Elementi di geometria analitica dello spazio. Equazioni parametriche e
cartesiane di una retta. Posizione reciproca di due rette; rette sghembe.
Equazione di un piano. Prodotto scalare canonico e distanza. Prodotto
vettore e sue proprietà fondamentali. Distanza di un punto da un piano e da
una retta.

Bibliografia

Abate, Marco. Geometria. McGraw-Hill.

Abate, Marco. Geometria. McGraw-Hill.

Metodi didattici

Durante le lezioni frontali verranno proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi e applicazioni, e numerosi esercizi. Gli esercizi sono uno strumento essenziale in Algebra Lineare e Geometria; in aggiunta alle lezioni, saranno proposti esercizi da svolgere in modo guidato, nell’ambito del Progetto IDEA.

Durante le lezioni frontali verranno proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi e applicazioni, e numerosi esercizi. Gli esercizi sono uno strumento essenziale in Algebra Lineare e Geometria; in aggiunta alle lezioni, saranno proposti esercizi da svolgere in modo guidato, nell’ambito del Progetto IDEA.

Modalità verifica apprendimento

La verifica dell'apprendimento comprende: un test preliminare a risposta multipla, un elaborato scritto e di un colloquio orale. Lo studente può svolgere 2 prove scritte (con test) intermedie durante il corso, che valgono ai fini del superamento della prova scritta (con test).
Nella prova scritta, attraverso i test e gli esercizi proposti, lo studente dovrà dimostrare di possedere le conoscenze di base relative alla Geometria e all’Algebra Lineare. Nel colloquio orale lo studente dovrà essere in grado citare e dimostrare proprietà delle strutture studiate, utilizzando un appropriato linguaggio geometrico e algebrico ed un formalismo matematico corretto.

La verifica dell'apprendimento comprende: un test preliminare a risposta multipla, un elaborato scritto e di un colloquio orale. Lo studente può svolgere 2 prove scritte (con test) intermedie durante il corso, che valgono ai fini del superamento della prova scritta (con test).
Nella prova scritta, attraverso i test e gli esercizi proposti, lo studente dovrà dimostrare di possedere le conoscenze di base relative alla Geometria e all’Algebra Lineare. Nel colloquio orale lo studente dovrà essere in grado citare e dimostrare proprietà delle strutture studiate, utilizzando un appropriato linguaggio geometrico e algebrico ed un formalismo matematico corretto.

Altre informazioni