GEOMETRIA

Crediti: 
9
Settore scientifico disciplinare: 
GEOMETRIA (MAT/03)
Anno accademico di offerta: 
2017/2018
Semestre dell'insegnamento: 
Secondo Semestre
Lingua di insegnamento: 

ITALIANO

Obiettivi formativi

Il corso ha l’obiettivo di consentire allo studente di conoscere e di comprendere elementi essenziali dell’Algebra Lineare e della Geometria Euclidea del piano e dello spazio; il corso ha anche lo scopo di consentire allo studente di utilizzare la conoscenza e la comprensione acquisita in problemi riguardanti la struttura spaziale dell’ambiente reale, strutture grafiche e architettoniche.

Contenuti dell'insegnamento

Il corso rappresenta una introduzione a diversi aspetti dell'Algebra Lineare e della Geometria. Inizia con la Geometria Euclidea nello spazio (vettori, rette, piani), mentre la seconda parte del corso è rivolta allo studio di vettori, matrici, sistemi lineari.
Nella terza parte del corso si studiano gli spazi vettoriali, le applicazioni lineari e il problema della diagonalizzazione degli operatori. Il corso termina con la trattazione dei prodotti scalari ed hermitiani.

Programma esteso

1. Spazi vettoriali reali e complessi. Sottospazi vettoriali: somma, somma diretta.
Combinazioni lineari di vettori: dipendenza e indipendenza lineare. Generatori, basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassman per i sottospazi.
2. Determinanti: espansione di Laplace e proprietà. Teorema di Binet. Operazioni elementari di riga e colonna sulle matrici. Calcolo dell'inversa di una matrice. Rango di una matrice.
3. Sistemi lineari. Metodo di Gauss e teorema di Rouché Capelli.
4. Applicazioni lineari. Definizione di nucleo e di immagine; teorema
della dimensione. Matrice associata ad una
applicazione lineare e regola di cambiamento di base. Isomorfismi e
applicazioni inverse.
5. Endomorfismi di uno spazio vettoriale: autovalori, autovettori e
autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di
un autovalore. Endomorfismi diagonalizzabili.
6. Prodotti scalari. Complemento ortogonale di un sottospazio. Processo di
ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Rappresentazione di isometrie tramite
matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale. Diagonalizzazione di matrici
simmetriche: teorema spettrale. Criterio di positività per prodotti scalari.
Cenni al caso complesso.
7. Elementi di geometria analitica dello spazio. Equazioni parametriche e
cartesiane di una retta. Posizione reciproca di due rette; rette sghembe.
Equazione di un piano. Prodotto scalare canonico e distanza. Prodotto
vettore e sue proprietà fondamentali. Distanza di un punto da un piano e da
una retta.

Bibliografia

Abate, Marco. Geometria. McGraw-Hill.

Metodi didattici

Durante le lezioni frontali verranno proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi e applicazioni, e numerosi esercizi. Gli esercizi sono uno strumento essenziale in Algebra Lineare e Geometria; in aggiunta alle lezioni, saranno proposti esercizi da svolgere in modo guidato, nell’ambito del Progetto IDEA.

Modalità verifica apprendimento

La verifica dell'apprendimento comprende: un test preliminare a risposta multipla, un elaborato scritto e di un colloquio orale. Lo studente può svolgere 2 prove scritte (con test) intermedie durante il corso, che valgono ai fini del superamento della prova scritta (con test).
Nella prova scritta, attraverso i test e gli esercizi proposti, lo studente dovrà dimostrare di possedere le conoscenze di base relative alla Geometria e all’Algebra Lineare. Nel colloquio orale lo studente dovrà essere in grado citare e dimostrare proprietà delle strutture studiate, utilizzando un appropriato linguaggio geometrico e algebrico ed un formalismo matematico corretto.